1. Realizacja bramek jednokubitowych

Realizacja bramek kwantowych jest fundamentem każdego procesora kwantowego. W układach fotonicznych, gdzie brak bezpośrednich oddziaływań między fotonami, implementacja bramek wymaga kreatywnego wykorzystania interferencji, pomiarów i pomocniczych fotonów. Ta sekcja systematycznie analizuje metody realizacji podstawowych operacji kwantowych na platformach fotonicznych.
Bramki jednokubitowe w układach fotonicznych mogą być realizowane z niemal perfekcyjną wiernością, co jest jedną z głównych zalet tej platformy. Kluczem jest wykorzystanie elementów optyki liniowej do manipulacji stanami pojedynczych fotonów.

Implementacja bramek Pauliego

Bramki Pauliego — \(X\), \(Y\) i \(Z\) — to podstawowy zestaw operacji zmieniających stan kubitu. W kontekście fotonów zakodowanych w polaryzacji, ich realizacja jest szczególnie elegancka.

Bramka \(X\) (NOT) zamienia stany bazowe: \(|H\rangle \leftrightarrow |V\rangle\). Realizuje się ją używając półfalowej płytki (ang. half-wave plate, HWP) ustawionej pod kątem 45° względem osi poziomej. Transformacja polaryzacji przez HWP o kącie \(\theta\) względem osi szybkiej jest opisana macierzą:
\[
\text{HWP}(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)
\end{pmatrix}
\]

Dla \(\theta = 45°\), otrzymujemy dokładnie macierz Pauliego \(\sigma_x\). Fizycznie, płytka wprowadza różnicę faz \(\pi\) między składowymi polaryzacji wzdłuż jej osi głównych, co przy odpowiednim ustawieniu realizuje pożądaną transformację.

Bramka \(Z\) wprowadza fazę \(\pi\) dla stanu \(|V\rangle\) względem \(|H\rangle\). Jest realizowana przez HWP ustawioną pod kątem 0° (lub 90°). Ta konfiguracja wprowadza względną fazę między składowymi bez zmiany amplitud prawdopodobieństwa.

Bramka \(Y = iXZ\) może być zrealizowana przez kombinację płytek lub pojedynczą HWP pod kątem 22.5°, choć ta druga opcja wprowadza globalną fazę, która często może być zignorowana.

Dla fotonów zakodowanych w ścieżce (ang. path encoding), bramki Pauliego są realizowane przez odpowiednie układy dzielników wiązki (ang. beam splitter) i przesuwników fazy. Bramka \(X\) odpowiada wymianie ścieżek, realizowanej przez symetryczny dzielnik wiązki. Bramka \(Z\) wprowadza względną fazę między ścieżkami, co osiąga się przez przesuwnik fazy w jednym z ramion.

Bramka Hadamarda i rotacje dowolne

Bramka Hadamarda, kluczowa dla tworzenia superpozycji, przekształca stany bazowe według:
\[
H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\]

Dla kubitów polaryzacyjnych jest realizowana przez HWP pod kątem 22.5° względem osi poziomej. To ustawienie przekształca \(|H\rangle \rightarrow (|H\rangle + |V\rangle)/\sqrt{2}\) i \(|V\rangle \rightarrow (|H\rangle – |V\rangle)/\sqrt{2}\).

Przy omawianiu różnych typów polaryzacji warto przypomnieć:

• polaryzacja liniowa – pole elektryczne oscyluje w jednej płaszczyźnie,
• polaryzacja kołowa – wektor pola elektrycznego zakreśla okrąg, występuje w odmianach prawoskrętnej i lewoskrętnej,
• polaryzacja eliptyczna – stan pośredni między liniową a kołową, wektor pola zakreśla elipsę.

Ogólne rotacje jednokubitowe wymagają bardziej złożonych układów. Dowolna operacja unitarna \(U\) na pojedynczym kubicie może być rozłożona jako:
\[
U = e^{i\alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)
\]

gdzie \(R_y\) i \(R_z\) to rotacje wokół odpowiednich osi sfery Blocha.

W implementacji optycznej wykorzystuje się kombinację HWP i ćwierćfalowych płytek (ang. quarter-wave plates, QWP). QWP przekształca polaryzację liniową w eliptyczną, umożliwiając realizację rotacji wokół dowolnej osi.

Sekwencja QWP-HWP-QWP z odpowiednio dobranymi kątami może zrealizować dowolną transformację SU(2). Precyzyjne wyrażenia dla kątów płytek w funkcji parametrów rotacji wynikają z rachunku macierzowego i są rutynowo wprowadzane w eksperymentach.

Bramki fazowe i T

Bramki fazowe, szczególnie bramka \(S = \text{diag}(1, i)\) i bramka \(T = \text{diag}(1, e^{i\pi/4})\), są kluczowe dla uniwersalności obliczeń kwantowych. Ich implementacja w układach fotonicznych wykorzystuje kontrolowaną dyspersję lub elementy dwójłomne.

Dla polaryzacyjnego kodowania, bramka \(S\) może być zrealizowana przez QWP z osią szybką ustawioną poziomo. Wprowadza ona różnicę faz 90° między składowymi \(H\) i \(V\). Bramka \(T\), wymagająca fazy 45°, jest trudniejsza do bezpośredniej realizacji i często jest wprowadzana przez kaskadę elementów lub specjalnie zaprojektowane kryształy dwójłomne o precyzyjnie kontrolowanej grubości.

W układach zintegrowanych bramki fazowe są realizowane przez termo-optyczne lub elektro-optyczne przesuwniki fazy. Lokalne podgrzanie falowodu zmienia jego współczynnik załamania, wprowadzając kontrolowaną fazę. Typowa czułość to około \(\pi\) radianów na 10 mW mocy grzania dla struktur o długości 100 µm.