2. Algorytmy wariacyjne (VQE, QAOA)

Algorytmy wariacyjne, łączące kwantowe przetwarzanie z klasyczną optymalizacją, oferują obiecującą ścieżkę do praktycznych zastosowań na obecnych, niedoskonałych procesorach kwantowych (NISQ – ang. Noisy Intermediate-Scale Quantum).

Wariacyjny rozwiązywacz zagadnienia własnego na platformach fotonicznych

VQE (ang. Variational Quantum Eigensolver – wariacyjny kwantowy rozwiązywacz zagadnienia własnego) znajduje stan podstawowy hamiltonianów kwantowych przez minimalizację wartości oczekiwanej energii dla parametryzowanego stanu próbnego.

Zagadnienie własne w mechanice kwantowej polega na znalezieniu stanów własnych \(|\psi_i\rangle\) i odpowiadających im wartości własnych \(E_i\) hamiltonianu \(\hat{H}\), spełniających równanie:
\[
\hat{H}|\psi_i\rangle = E_i|\psi_i\rangle
\]
Stan podstawowy odpowiada najniższej wartości własnej \(E_0\). VQE rozwiązuje to zagadnienie wariacyjnie, wykorzystując zasadę wariacyjną mówiącą, że wartość oczekiwana energii dla dowolnego stanu jest nie mniejsza niż energia stanu podstawowego.

Adaptacja do platform fotonicznych wymaga uwzględnienia specyfiki kodowania i dostępnych operacji.

Parametryzowany stan próbny (ansatz) dla fotonicznych implementacji typowo wykorzystuje sekwencje bramek jednokubitowych i probabilistycznych bramek dwukubitowych:
\[
|\psi(\vec{\theta})\rangle = U(\vec{\theta})|0\rangle^{\otimes n}
\]
gdzie \(U(\vec{\theta})\) to sekwencja bramek z parametrami \(\vec{\theta}\).

Dla hamiltonianów molekularnych w drugiej kwantyzacji naturalne jest kodowanie w liczbie obsadzeń modów. Każdy orbital molekularny odpowiada modowi fotonicznemu, z liczbą fotonów reprezentującą obsadzenie. To wymaga detektorów rozróżniających liczbę fotonów i operacji zachowujących liczbę cząstek.

Pomiar wartości oczekiwanej energii \(\langle \hat{H} \rangle\) wymaga rozkładu hamiltonianu na sumę mierzalnych operatorów. Dla hamiltonianów w bazie modów:
\[
\hat{H} = \sum_{ij} h_{ij} \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j + \sum_{ijkl} h_{ijkl} \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_k \hat{a}_l
\]

Człony jednocząstkowe \(\hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j\) odpowiadają transferowi fotonu między modami, mierzalne przez detekcję koincydencji. Człony dwucząstkowe wymagają bardziej złożonych schematów pomiarowych.

Klasyczna pętla optymalizacji wykorzystuje metody gradientowe lub bezgradientowe. Estymacja gradientu może wykorzystywać regułę przesunięcia parametru:
\[
\frac{\partial \langle \hat{H} \rangle}{\partial \theta_i} = \frac{1}{2}[\langle \hat{H} \rangle_{\theta_i + \pi/2} – \langle \hat{H} \rangle_{\theta_i – \pi/2}]
\]

Główne wyzwania implementacji VQE na platformach fotonicznych obejmują ograniczoną łączność z powodu probabilistycznych bramek, straty redukujące sygnał dla głębokich obwodów oraz ograniczenia w dostępnych typach ansatzów.

Kwantowy przybliżony algorytm optymalizacji

QAOA (ang. Quantum Approximate Optimization Algorithm), zaprojektowany do rozwiązywania problemów optymalizacji kombinatorycznej, ma naturalną strukturę dopasowaną do ograniczeń platform fotonicznych.

Dla problemu MaxCut na grafie \(G = (V, E)\), hamiltonian problemu to:
\[
\hat{H}_C = \sum_{(i,j) \in E} \frac{1}{2}(1 – \hat{Z}_i \hat{Z}_j)
\]

QAOA wykorzystuje naprzemienne warstwy ewolucji pod \(\hat{H}_C\) i hamiltonianiem miksującym \(\hat{H}_B = \sum_i \hat{X}_i\):
\[
|\psi(\vec{\beta}, \vec{\gamma})\rangle = \prod_{l=1}^p e^{-i\beta_l \hat{H}_B} e^{-i\gamma_l \hat{H}_C} |+\rangle^{\otimes n}
\]

Implementacja fotonowa wykorzystuje kodowanie w polaryzacji lub drodze dla reprezentacji zmiennych binarnych. Ewolucja pod \(\hat{H}_C\) wymaga bramek kontrolowanej-Z między kubitami odpowiadającymi krawędziom grafu. W architekturze probabilistycznej wymaga to selekcji końcowej lub wykorzystania fotonów pomocniczych.

Warstwa miksująca \(e^{-i\beta \hat{H}_B}\) to iloczyn lokalnych rotacji, łatwo realizowalnych przez płytki falowe lub przesuwniki fazy. To sprawia, że QAOA jest relatywnie odporny na ograniczoną łączność platform fotonicznych.

Strategie implementacji dla ograniczonej łączności obejmują wykorzystanie sieci SWAP do realizacji odległych interakcji, przybliżoną kompilację gdzie bramki między odległymi kubitami są aproksymowane oraz hierarchiczne podejścia dekomponujące problem na podproblemy dopasowane do dostępnej łączności.

Demonstracje eksperymentalne i skalowanie

Pierwsze demonstracje VQE na platformach fotonicznych koncentrowały się na małych molekułach. Obliczenie energii stanu podstawowego H\(_2\) wykorzystując dwa kubity fotoniczne osiągnęło dokładność chemiczną (<1 kcal/mol). Kluczowym elementem była efektywna realizacja ansatzu dopasowanego do symetrii problemu.

QAOA dla małych instancji MaxCut (grafy od 4 do 6 wierzchołków) został pokazany z wykorzystaniem programowalnych interferometrów. Głębokość \(p = 2\) okazała się wystarczająca dla znalezienia optymalnych rozwiązań w większości przypadków.

Skalowanie do większych problemów napotyka na fundamentalne ograniczenia. Dla VQE liczba pomiarów potrzebna do estymacji energii z dokładnością \(\epsilon\) skaluje się jak \(O(1/\epsilon^2)\) razy liczba członów w hamiltonianie. Dla hamiltonianów molekularnych może to wymagać milionów pomiarów dla średnich molekuł.

Strategie redukcji liczby pomiarów obejmują grupowanie komutujących operatorów mierzonych jednocześnie, wykorzystanie symetrii do redukcji przestrzeni parametrów, pomiary adaptacyjne koncentrujące się na największych członach oraz tomografię cieni dla efektywnej estymacji wielu obserwabli.