3. Symulacja układów kwantowych

Symulacja kwantowa, pierwotna motywacja Feynmana dla obliczeń kwantowych, znajduje naturalną realizację na platformach fotonicznych dla pewnych klas problemów.

Symulacja dynamiki fermionowej i bozonowej

Odwzorowanie między modami fotonicznymi a modami cząstek w symulowanym układzie oferuje bezpośrednią drogę do symulacji. Dla układów bozonowych odwzorowanie jest naturalne — fotony są bozonami.

Hamiltonian Bosego-Hubbarda:
\[
\hat{H} = -J \sum_{\langle i,j \rangle} (\hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j + \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_i) + \frac{U}{2} \sum_i \hat{n}_i(\hat{n}_i – 1)
\]

Człon przeskoku \(J\) jest realizowany przez sprzężenie między modami (sprzężenie między falowodami lub dzielniki wiązki). Człon oddziaływania \(U\) wymaga nieliniowości, co jest wyzwaniem dla czystej optyki liniowej.

Strategie realizacji oddziaływań obejmują wykorzystanie pomiarów do wprowadzenia efektywnych nieliniowości, odwzorowanie na modele nie wymagające bezpośrednich oddziaływań oraz wykorzystanie zmiennych ciągłych (ang. continuous variables) gdzie nieliniowości Kerra są dostępne w pewnych materiałach.

Symulacja fermionów wymaga odwzorowania uwzględniającego statystykę antysymetryczną. Transformacja Jordana-Wignera mapuje fermiony na spiny (kubity):
\[
\hat{c}_j^\dagger \rightarrow \hat{Z}_1 \hat{Z}_2 … \hat{Z}_{j-1} \hat{\sigma}_j^+
\]

To wprowadza nielokalne łańcuchy operatorów \(\hat{Z}\), komplikując implementację dla platform z ograniczoną łącznością.

Kwantowe spacery losowe

Kwantowe spacery losowe są fundamentalnym prymitywem dla algorytmów kwantowych i naturalnie odwzorowują się na propagację fotonów w sieciach optycznych.

Dla kwantowego spaceru w czasie dyskretnym ewolucja opisana jest przez:
\[
|\psi(t+1)\rangle = \hat{U}_{walk} |\psi(t)\rangle = (\hat{S} \cdot \hat{C}) |\psi(t)\rangle
\]
gdzie \(\hat{C}\) to operator rzutu monetą działający na wewnętrzny stopień swobody (np. polaryzację), a \(\hat{S}\) to operator przesunięcia przemieszczający walker w zależności od stanu rzutu.

Implementacja fotonowa wykorzystuje sieci dzielników wiązki dla spacerów w czasie ciągłym lub kaskady operacji rzut-przesunięcie dla spacerów w czasie dyskretnym. Polaryzacja fotonu naturalnie realizuje przestrzeń rzutu, z polaryzującymi dzielnikami wiązki realizującymi warunkowe przemieszczenie.

Demonstracje obejmują kwantowe spacery na liniach, cyklach i bardziej złożonych grafach, obserwację balistycznego rozprzestrzeniania charakterystycznego dla kwantowych spacerów (w przeciwieństwie do dyfuzyjnego rozprzestrzeniania klasycznych spacerów losowych) oraz implementację algorytmów opartych na spacerach kwantowych (wyszukiwanie, rozróżnianie elementów).

Główną zaletą fotonicznych implementacji jest możliwość obserwacji pełnej dynamiki przez zmianę długości układu lub wykorzystanie zwielokrotniania czasowego. To oferuje wgląd niemożliwy w innych platformach, gdzie obserwuje się tylko stan końcowy.

Symulacja zjawisk topologicznych

Fotoniczne układy oferują unikalną platformę do symulacji i obserwacji zjawisk topologicznych, które są inherentnie odporne na lokalne zaburzenia.

Implementacja modelu Su-Schrieffera-Heegera (SSH), paradygmatycznego modelu topologicznego w 1D, wykorzystuje naprzemienne silne i słabe sprzężenia między falowodami:
\[
\hat{H}_{SSH} = \sum_i (t_1 \hat{a}_i^\dagger \hat{b}_i + t_2 \hat{b}_i^\dagger \hat{a}_{i+1} + h.c.)
\]

Dla \(|t_1| \neq |t_2|\) model wykazuje topologicznie chronione stany brzegowe. W implementacji fotonicznej różne siły sprzężenia są realizowane przez kontrolę odległości między falowodami.

Obserwacja topologicznych stanów brzegowych przez selektywne wzbudzenie brzegów układu i obserwację lokalizacji światła demonstruje topologiczną protekcję — stany brzegowe są odporne na nieporządek w objętości.

Rozszerzenia obejmują dwuwymiarową fotonikę topologiczną z obserwacją chiralnych stanów brzegowych, topologiczne fazy Floqueta przez periodyczną modulację oraz niehermitowskie fazy topologiczne wykorzystujące straty i wzmocnienie.

Unikalną cechą platform fotonicznych jest możliwość bezpośredniej obserwacji funkcji falowych przez obrazowanie rozkładu natężenia światła. To oferuje bezprecedensowy wgląd w fizykę topologiczną.