1. Kwantowe elementy optyczne

Na początku praktycznych rozważań nad optyką kwantową, zapoznamy się z opisem eksperymentów z fotonami. Na warsztat w szczególności weźmiemy, eksperymenty interferencyjne z fotonami. W tym celu musimy najpierw nauczyć się opisywać kwantowe elementy optyczne.

W ogólności, musimy uwzględniać zawsze dwa kanały, którymi mogą wchodzić i wychodzić fotony. Przyjmiemy konwencję, w której opisujemy zawsze kanały wejściowe przez operatory \(a,b\), natomiast kanały wyjściowe przez operatory \(c,d\). Ponieważ to co otrzymujemy na wyjściu jednego elementu optycznego, jest wejściem drugiego elementu optycznego, to oznaczenia te będziemy stosować tylko w momencie transformacji, a następnie będziemy zakładać, że kanał \(c\) opisujemy znowu przez \(a\), natomiast kanał \(d\) przez \(b\).

Beam Splitter

Dzielnik wiązki (Beam Splitter) o współczynnikach transmisji i odbicia \(t\) i \(r\) musi spełniać warunek unitarności:
\begin{equation}
|r|^{2}+|t|^{2} = 1,
\tag{1}
\end{equation}
tzn. idealny element optyczny nie powinien ani wzmacniać ani tłumić całkowitej amplitudy drgań pola elektrycznego.

Dla idealnego dzielnika 50:50 przyjmujemy wartości:
\begin{equation}
t = \frac{1}{\sqrt{2}}, \hspace{2cm} r = \frac{i}{\sqrt{2}}.
\tag{2}
\end{equation}
Operatorowa transformacja wejściowych operatorów anihilacji \(a,b\) do wyjściowych \(c,d\) wygląda zatem następująco:
\begin{equation}
a \rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}}(a – ib),
\tag{3}
\end{equation}
\begin{equation}
b \rightarrow d = \frac{1}{\sqrt{2}}(-ia + b).
\tag{4}
\end{equation}
Zauważmy, że opis ten miesza ze sobą operacje na innych modach, czyli de facto na innych przestrzeniach wchodzących w skład iloczynu tensorowego. Łatwo można przekonać się (do czego zachęcamy w ramach ćwiczenia), że w związku z tym transformacja zachowuje kanoniczną relację komutacji:
\begin{equation}
[c,c^{\dagger}] = 1 \hspace{0.6cm} [d,d^{\dagger}] = 1 \hspace{0.6cm} [c,d] = 0 \hspace{0.6cm}[c,d^{\dagger}] = 0.
\tag{5}
\end{equation}
W efekcie pojedynczy foton wchodzący w trybie \(a\) jest rozdzielany na superpozycję:
\begin{equation}
|{1}\rangle_{a}|{0}\rangle_{b} = a^{\dagger}|{0}\rangle_{a}|{0}\rangle_{b} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(a^{\dagger} + i b^{\dagger})|{0}\rangle_{a}|{0}\rangle_{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} |{1}\rangle_{a}|{0}\rangle_{b} +i |{1}\rangle_{a}|{0}\rangle_{b}).
\tag{6}
\end{equation}

Phase Shifter

Działanie Phase Shiftera w trybie \(a\) jest opisane operatorem unitarnym:
\begin{equation}
P_{a}(\phi) |{n}\rangle_{a}|{m}\rangle_{b} = e^{i\phi} |{n}\rangle_{a}|{m}\rangle_{b}.
\tag{7}
\end{equation}
Podobnie możemy opisać przesunięcie fazy na modzie \(b\). W efekcie operator taki przesuwa fazę na całkowitym stanie dzielonym przez dwa mody.

Nauczyliśmy się już opisywać elementy optyczne zgodnie z optyką kwantową. Pora wykorzystać naszą wiedzę do tego, żeby pokazać praktyczne zastosowanie wyprowadzonych wzorów. Na warsztat weźmiemy eksperyment Hong-Ou-Mandela, który często przywoływany jest jako fundamentalne zjawisko w kontekście opisu fotonów jako cząstek nierozróżnialnych.