1. Kwantowy oscylator harmoniczny
W klasycznej fizyce, oscylator harmoniczny opisywany jest przez hamiltonian:
\begin{equation}
\mathcal{H} = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}q^{2}
\tag{1}
\end{equation}
gdzie \(q\) jest położeniem kanonicznym, natomiast \(p\) jest pędem kanonicznym. W mechanice kwantowej, funkcję energii musimy zastąpić odpowiadającym jej operatorem energii, a dokonuje się to przez podstawienie \(q \rightarrow Q\) oraz \(p\rightarrow P\), gdzie \(P,Q\) są operatorami, z komutatorem: \([Q,P] = i\hbar\). Operator energii \(H\) (hamiltonian), możemy zatem zapisać jako:
\begin{equation}
H = \frac{P^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}Q^{2}
\tag{2}
\end{equation}
Hamiltonian taki możemy zdiagonalizować przez wprowadzenie operatorów kreacji i anihilacji:
\begin{equation}
a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(Q + \frac{i}{m\omega}P)
\tag{3}
\end{equation}
\begin{equation}
a^{\dagger} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(Q – \frac{i}{m\omega}P)
\tag{4}
\end{equation}
których komutator wynosi:
\begin{equation}
[a,a^{\dagger}] = I
\tag{5}
\end{equation}
Wtedy, w takiej reprezentacji, nasz hamiltonian przyjmuje postać:
\begin{equation}
H = \hbar\omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})
\tag{6}
\end{equation}
co łatwo sprawdzić, przez wyrażenie operatorów \(Q,P\) przez operatory \(a, a^{\dagger}\) i podstawienie ich do hamiltonianu. Otrzymany operator możemy zdiagonalizować w kilku krokach.
- Zauważmy, najpierw, że wartość średnia hamiltonianu w dowolnym stanie, musi być większa od zera:
\[
\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{2m} \langle \psi | P^{\dagger} P | \psi \rangle + \frac{1}{2} m \omega^{2} \langle \psi | Q^{\dagger} Q | \psi \rangle \geq 0 \tag{7}
\]
W przekształceniu powyżej skorzystaliśmy z faktu, że dla operatorów hermitowskich \(A\) możemy zapisać \(A^{\dagger}A = A^{2}\), a także z tego, że iloczyn skalarny pomiędzy tymi samymi wektorami (w tym wypadku pomiędzy \(A|{\psi}\rangle\) oraz jego sprzężeniem) musi być nieujemny. - Jeżeli \(|{\psi}\rangle\) jest wektorem własnym o wartości własnej \(E\), to działanie operatora \(H\) na stan \(a|{\psi}\rangle\) jest następujące:
\begin{equation}
Ha|{\psi}\rangle = \hbar\omega (a^{\dagger}a+\frac{1}{2})a|{\psi}\rangle =
\hbar a \omega(a^{\dagger}a – \frac{1}{2})|{\psi}\rangle = (E – \hbar\omega) a|{\psi}\rangle
\tag{8}
\end{equation}
gdzie wykorzystaliśmy relację komutacji w postaci \(a^{\dagger}a = aa^{\dagger} – 1\) do uzyskania drugiego kroku.
To znaczy, że stan \(a|{\psi}\rangle\) jest także stanem własnym o wartości własnej \(E – \omega\). Operator anihilacji obniża zatem stan własny o wartość \(\omega\). Należy jednak zauważyć, że skoro wartości średnie Hamiltonianu, a co za tym idzie wartości własne własne muszą być dodatnie, to otrzymywanie stanów o energiach o \(\omega\) niższych, nie może trwać w nieskończoność. Musi istnieć stan \(|{0}\rangle\), o energii \(\omega /2\) który zakończy cały proces:
\begin{equation}
a|{0}\rangle = 0
\tag{9}
\end{equation} - Podobnie można pokazać, że dla tego samego stanu własnego \(|{\psi}\rangle\):
\begin{equation}
Ha^{\dagger}|{\psi}\rangle = \hbar\omega (a^{\dagger}a+\frac{1}{2})a^{\dagger}|{\psi}\rangle =
a^{\dagger} \hbar\omega(a^{\dagger}a + \frac{3}{2})|{\psi}\rangle = (E +\hbar \omega) a^{\dagger}|{\psi}\rangle
\tag{10}
\end{equation} - Jesteśmy zatem uprawnieni do tego, żeby numerować stany własne oscylatora przez liczby całkowite, które określają ile razy został dany stan podniesiony do góry ze stanu zerowego. Stany własne, są zatem dane przez:
\begin{equation}
H|{n}\rangle =\hbar \omega (n+\frac{1}{2})|{n}\rangle
\tag{11}
\end{equation} - Wiemy, że operatory kreacji i anihilacji, podnoszą i obniżają stany własne hamiltonianu. Z warunków unormowania stanów oraz przy wykorzystaniu relacji komutacji, można obliczyć natomiast stałe proporcjonalności, które stoją przy działaniu tych operatorów na stany własne:
\begin{equation}
a|{n}\rangle = \sqrt{n} |{n-1}\rangle
\tag{12}
\end{equation}
\begin{equation}
a^{\dagger}|{n}\rangle = \sqrt{n+1}|{n+1}\rangle
\tag{13}
\end{equation}
Mając już znalezioną reprezentacje stanów \(|{n}\) w postaci abstrakcyjnej, jesteśmy w stanie wyznaczyć ich postać reprezentacji położeniowej. W ogólności można to zrobić metodą analityczną, korzystając z własności funkcji Hermite’a, ale w tym wypadku ograniczymy się jedynie do wyliczenia ścisłej postaci stanu próżni, a następne stany, o wyższych energiach, otrzymamy przez podniesienie stanu zerowego, operatorem kreacji.
Zauważmy, że
\begin{equation}
a|{0}\rangle = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(Q + \frac{i}{m\omega}P)|{0}\rangle = 0
\tag{14}
\end{equation}
co w reprezentacji położeń przyjmuje postać:
\begin{equation}
(q + \frac{1}{m\omega}\frac{d}{dq}) \psi_{0}(q) = 0
\tag{15}
\end{equation}
Równanie różniczkowe to, ma prostą postać rozwiązania:
\begin{equation}
\psi_{0}(q) = (\frac{m\omega}{\pi})^{1/4}\exp(-\frac{m\omega}{2}q^{2})
\tag{16}
\end{equation}
gdzie stałą całkowania zastapiliśmy czynnikiem normalizacyjnym, obliczonym przez skorzystanie z warunku:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_{0}(q)|^{2}dq = 1
\tag{17}
\end{equation}
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import cm import seaborn as sns # definiujemy operator kreacji def create(m, omega): def inner(y, x): dy_dx = np.gradient(y, x) return (1 / np.sqrt(2 * m * omega)) * (-dy_dx + m * omega * x * y) return inner # ustalamy parametry ukladu m = 1 om = 1.6 q_ = np.arange(-7,7, 0.01) # obliczamy tablice wartosci stanu podstawowego psi0 = (m * om / np.pi) ** 0.25 * np.exp(- (om * m * (q_ ** 2)) / 2) # deklarujemy operator kreacji a_dag = create(m, om) # procedura tworzenia wykresu fig = plt.figure(figsize=(5, 4)) ax = fig.add_subplot(1, 1, 1) n = 8 actual = psi0 fact_ = 1 for i in range(n): ax.plot(q_, actual + i * om, color=cm.rainbow(i / n), label=f'n={i}', lw = 3) actual = a_dag(actual, q_) / np.sqrt(i + 1) V_ = m * om ** 2 * q_ ** 2 / 2 ax.plot(q_, V_, color="blue", alpha=0.3, label="V(x)") ax.fill_between(q_, 0, V_, color="blue", alpha=0.1) ax.set_ylim(-0.1, n * om) ax.set_title("Funkcje własne oscylatora harmonicznego") ax.legend(loc = "upper right") ax.set_ylabel("E") ax.set_xlabel("x") plt.show()
Powyższy kod pozwala nam na obliczenie numerycznie dowolnie wybranej liczby funkcji własnych oscylatora harmonicznego, przez działanie na stan podstawowy operatorem kreacji. Na rysunku zamieszczono wykres funkcji własnych oscylatora.
