2. Emisja spontaniczna oraz emisja wymuszona

Rozważmy teraz przypadek światła kwantowego. Weźmy na warsztat pole jednomodowe, wprowadzone w lekcji 2. Pole wyrażone jest przez zmienny w czasie operator proporcjonalny do wyrażenia:
\begin{equation}
E_{x}(t) \propto (ae^{-i\omega t} + a^{\dagger}e^{i\omega t}),
\tag{3}
\end{equation}
Stałą proporcjonalności w tym wyrażeniu będziemy oznaczać przez \(\mathcal{C}\).

Hamiltonian opisujący proces oddziaływania pola z materią \(H_{int}\) jest wtedy częścią całego Hamiltonianu:
\begin{equation}
H = H_{atom} + H_{pole} + H_{int}
\tag{4}
\end{equation}
gdzie \(H_{pole}\) jest wyrażone przez \(\hbar \omega a^{\dagger}a\).
Zgodnie z tym, możemy zapisać:
\begin{equation}
H = H_{atom} + \hbar\omega a^{\dagger}a -d_{x}\mathcal{C}(ae^{-i\omega t} + a^{\dagger}e^{i\omega t})
\tag{5}
\end{equation}
Otrzymujemy wtedy Hamiltonian, który ma jasny podział operatorów na strukturę iloczynu tensorowego przestrzeni atomu oraz pola. Możemy teraz przejść do obrazu oddziaływań, czyli możemy rozważyć stany:
\begin{equation}
|{\psi'(t)}\rangle = e^{i(H_{atom}+H_{pole})t/\hbar}|{\psi(t)}\rangle
\tag{6}
\end{equation}
oraz nowy Hamiltonian oddziaływania:
\begin{equation}
H’_{int} = e^{i(H_{atom}+H_{pole})t/\hbar}H_{int}e^{-i(H_{atom}+H_{pole})t/\hbar}
\tag{7}
\end{equation}
Możesz w łatwy sposób pokazać, przez podstawienie \(|{\psi(t)}\rangle\), do równania Schrödingera, że spełnione jest równanie:
\begin{equation}
i\hbar \frac{d}{dt}|{\psi'(t)}\rangle = H’_{int}|{\psi'(t)}\rangle
\tag{8}
\end{equation}
A to oznacza, że dokonując transformacji Hamiltonianu oddziaływania za pomocą operatora ewolucji pól i atomu swobodnego, możemy otrzymać zwykłe równanie Schrödingera i możemy stosować standardowe metody diagonalizacji.

W naszym przypadku, komponent pola w Hamiltonianie oddziaływania może zostać w ten sposób uniezależniony od czasu, ponieważ:
\begin{equation}
H’_{int} = d’_{x}\mathcal{C}(a+a^{\dagger})
\tag{9}
\end{equation}
gdzie \(d’_{x}\) jest zmodyfikowanym operatorem momentu dipolowego w kierunku \(x\):
\begin{equation}
d’_{x} = e^{iH_{atom}t/\hbar}d_{x}e^{-iH_{atom}t/\hbar}
\tag{10}
\end{equation}
Prawdopodobieństwo przejść pomiędzy stanami jest niezerowe, jeśli niezerowe są elementy macierzowe Hamiltonianu wyznaczone przez te stany. Zakładając dwa stany atomu o różnej parzystości \(|{i}\rangle\) oraz \(|{f}\rangle\), możemy policzyć wyrażenia na przejścia pomiędzy stanami pola o określonej licznie fotonów:

\[
\langle f, n-1 | H’_{\text{int}} | i, n \rangle = \langle f | d’_x | i \rangle \, \mathcal{C} \sqrt{n} \tag{11}
\]

\[
\langle f, n+1 | H’_{\text{int}} | i, n \rangle = \langle f | d’_x | i \rangle \, \mathcal{C} \sqrt{n + 1} \tag{12}
\]

Z powyższych wyników możemy wywnioskować, że w przypadku, pierwszym (gdy zachodzi absorpcja fotonu przez atom) możemy zaobserwować efekt jedynie gdy w pole znajduje się w stanie o niezerowej liczbie fotonów, co odpowiada intuicji. W drugim wypadku, gdy liczba fotonów w stanie pola wzrasta, proces może zajść zarówno gdy w pole znajduje się w stanie o niezerowej liczbie fotonów (mamy wtedy do czynienia z procesem emisji wymuszonej, gdy pole stymuluje emisje fotonów przez atom), ale istnieje także niezerowe prawdopodobieństwo, że emisja nastąpi, gdy pole znajduje się w stanie próżni (proces ten nazywamy emisją spontaniczną). Emisja spontaniczna jest zjawiskiem czysto kwantowym i nie zachodzi dla pola opisywanego klasycznymi równaniami. Jest to kolejny dowód na to, iż stan próżni w ujęciu kwantowym, jest czymś znacząco różnym od stanu próżni w ujęciu klasycznym.