2. Od klasycznego do kwantowego opisu światła

Zjawiska elektromagnetyczne w klasycznym ujęciu opisywane są przez dwa pola: elektryczne, któremu odpowiada pole wektorowe \(\vec{E}(\vec{r},t)\) oraz magnetyczne, któremu odpowiada pole wektorowe \(\vec{B}(\vec{r},t)\). Pola te można zawsze wyznaczyć ze zbioru czterech fundamentalnych równań rózniczkowych – równań Maxwella. W szczególności, jeśli założymy brak ładunków w przestrzeni, równania Maxwella redukują się do tzw. równania falowego, które w przypadku pola elektromagnetycznego można zapisać jako:
\begin{equation}
\Delta \vec{E}(\vec{r},t) = \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial ^{2}\vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t^{2}},
\tag{18}
\end{equation}
gdzie \(\Delta\) jest operatorem Laplace’a. Takie samo równanie można wyprowadzić dla pola magnetycznego.

Ciekawym i fundamentalnym odkryciem gałęzi matematyki, zwanej analizą harmoniczną jest fakt, iż pole opisywane równaniem falowym, można zawsze rozłożyć na sumę niezależnie drgających oscylatorów, przez przedstawienie pola w bazie funkcji Fouriera. Jeżeli Przestrzeń jaką rozważamy jest ograniczona do pudełka o wymiarach \(L_{x}\times L_{y}\times L_{z}\), to baza Fouriera jest wyznacozna przez fale stojące o wektorach falowych \(\vec{k} = 2\pi(n_{x}/L_{x},n_{y}/L_{y},n_{z}/L_{z})\) numerowanych przez liczby całkowite, a samo pole można zapisać jako kombinację liniową fal stojących.

Dodatkowo, z równań Maxwella w próżni, wynikają dwa fundamentalne fakty:

1. Światło jest falą poprzeczną i wektory pola elektromagnetycznego dla fali swiatła skierowane są w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się tej fali. Do pełnego opisu pola odpowiadającego fali światła potrzebujemy tylko dwóch stopni swobody zwanych polaryzacją fali.
2. Wektory pola magnetycznego i elektrycznego, ustawione są do siebie w kierunku prostopadłym.

Podsumowując: klasyczne pole spełniające równanie falowe, może zostać rozłożone na zbiór niezależnie drgających od siebie oscylatorów, kazdy z nich ma wyznaczony swój wektor falowy, oraz przypisaną polaryzację, czyli kierunke niezależnych drgań. Częstośc drgania takiego oscylatora jest związana z odpowiadajacym mu wektorem falowym przez związek dyspersyjny \(\omega_{\vec{k},s} = c|\vec{k}|\), gdzie \(c\) to predkość światła.

Interesuje nas teraz, w jaki sposób, moglibyśmy opisać pole elektromagnetyczne w sposób w pełni kwantowy. Wiemy w jaki sposób opisywać kwantowy oscylator harmoniczny. Skoro więc pole EM jest zbiorem niezależnych oscylatorów, to możemy zapisać jego hamiltonian jako:
\begin{equation}
H_{\text{pole}} = \sum_{\vec{k}}\sum_{s=1}^{2}\hbar\omega_{\vec{k},s}(a^{\dagger}_{\vec{k},s}a_{\vec{k},s}+ \frac{1}{2})
\tag{19}
\end{equation}

Choć Hamiltonian zawiera wiele operatorów kreacji i anihilacji, każdy z nich działa w osobnej przestrzeni Hilberta odpowiadającej konkretnej kombinacji \(\vec{k}\) i \(s\). Operatory te spełniają więc relacje komutacji:
\begin{equation}
[a_{\vec{k},s},a_{\vec{k}’,s’}^{\dagger}] = \delta_{\vec{k},\vec{k}’}\delta_{s,s’},
\tag{20}
\end{equation}
\begin{equation}
[a_{\vec{k},s},a_{\vec{k}’,s’}] = [a_{\vec{k},s}^{\dagger},a_{\vec{k}’,s’}^{\dagger}] = 0.
\tag{21}
\end{equation}

Wiemy też jak znaleźć stany własne tego hamitloaninu. Każdy z nich opisany będzie po prostu przez liczbę wzbudzeń kazdego osobnego oscylatora:
\begin{equation}
|{n_{\vec{k}_{1},s} ,n_{\vec{k}_{2},s}\ldots }\rangle.
\tag{22}
\end{equation}
Powyższy zapis oznacza, że w modzie \(\vec{k}_{1}\) i polaryzacji \(s\) znajduje się \(n_{\vec{k}_{1},s}\) fotonów, w modzie \(\vec{k}_{2}\) o tej samej polaryzacji \(n_{\vec{k}_{2},s}\) itd. Każdy taki stan nazywany jest stanem Focka.

Moglibyśmy zastanowić się, co w istocie oznacza, że oscylator o modzie \(\vec{k},s\) został wzbudzony. Zachowanie to nie może być przypisane konkretnemu miejscu w przestrzeni, a jego całkowitym efektem jest podniesienie energii całego pola o jedną jednostkę \(\omega_{\vec{k},s}\), a zatem o pewien kwant energii. Z drugiej strony, prawdopodobnie z kultury popularnej wiemy, że kwant energii światła jest inaczej nazywany fotonem. Nasza intuicja nas nie myli; oznaczenie \(n_{\vec{k},s}\) w stanie własnym operatora pola oznacza właśnie, że w modzie o wektorze falowym \(\vec{k}\) znajduje się \(n\) fotonów o spolaryzowanych w kierunku \(s\). Dobrze nam znane fotony, są w istocie po prostu kolejnymi wzbudzeniami pola elektromagnetycznego, czyli stanami mówiącymi nam, że pole wspięło się na kolejny, wyższy stan energetyczny. Omówiona Baza Focka, mówi nam natomiast ile w każdym z modów znajduje się \(n\) fotonów.

Głównym wynikiem przedstawionej teorii jest fakt, iż możemy za pomocą operatorów kreacji i anihilacji opisać pole elektromagnetyczne, tworząc odpowiednie operatory pola elektrycznego i magnetycznego. Nalezy jednak zaznaczyć, iż postać tych operatorów zalezy od tego czy rozważaniom poddamy tylko jeden mod pola, czy rozważymy wszystkie mody. W ogólniości dla wszytskich modów dostajemy skomplikowane wyrażenie, które uwzględnia sumę po wszytskich możliweych wektorach falowych i wszytskich możliwych polaryzacjach. Skomplikowane obliczenia, które są nieodłacznym elementem podstaw elektrodynamiki kwantowej, mogłyby nam nieco namieszać w głowie i zaciemnić główny cel tego kursu. Naszym celem jest nabycie intuicji i zrozumienie podstawowych pojęć oraz efektów związanych z optyką kwantową dlatego skupmy się jedynie na jednym, wybranym modzie pola, o wektorze falowym skierowanym w kierunku osi \(z\), o długości \(k\), oraz o częstości drgań \(\omega\). Jeżeli dodatkowo, przyjmiemy, że nasze światło jest spolaryzowane liniowo i pole elektryczne drga w kierunku \(x\), to w tym szczególnym przypadku, pole elektryczne, można reprezentować jako:
\begin{equation}
E_{x}(z,t) = \mathcal{E}_{0}\sin{(kz)} (ae^{-i\omega t} + a^{\dagger}e^{i\omega t}),
\tag{23}
\end{equation}
gdzie \(\mathcal{E}_{0}\) jest pewną stałą proporcjonalności zależną od wartości częstości pola oraz objętości przestrzeni jaką obejmują nasze rozważania. Pole magnetyczne z kolei można zapisać jako
\begin{equation}
B_{y}(z,t) = i\frac{\mathcal{E}_{0}}{c}\cos{(kz)} (ae^{-i\omega t} – a^{\dagger}e^{i\omega t})
\tag{24}
\end{equation}

Zbadajmy jak charakterystyczne statystyczne własności operatora pola zachowują się w stanie \(n\)-fotonowym. Na początek obliczymy wartość średnią pola:
\[
\langle n | E_{x}(z,t) | n \rangle = \mathcal{E}_{0} \sin(kz) \left( \langle n | a | n \rangle e^{-i\omega t} + \langle n | a^{\dagger} | n \rangle e^{i\omega t} \right) = 0 \tag{25}
\]
Wartość średnia jest równa zeru ponieważ zarówno \(\langle n | n – 1 \rangle = 0\) oraz \(\langle n | n + 1 \rangle = 0\). Aby obliczyć nieoznaczoność operatora pola, możemy najpierw rozważyć średnią kwadratu pola:
\[
\langle n | E_{x}^{2}(z,t) | n \rangle = \mathcal{E}_{0}^{2} \sin^{2}(kz) \left( \langle n | a a^{\dagger} | n \rangle + \langle n | a^{\dagger} a | n \rangle \right) = 2 \mathcal{E}_{0}^{2} \sin^{2}(kz) \left( n + \frac{1}{2} \right) \tag{26}
\]
Ponieważ średnia była równa zeru, to także kwadrat średniej jest równy zeru, zatem nieoznaczoność operatora pola, w stanie o \(n\) fotonach, jest proporcjonalna do \(\sqrt{n+1/2}\). Jeżeli zatem pole znajduje się w stanie próżni (nie ma fotonów), to nadal możemy zarejestrować drgania, pomimo tego, pole znajduje się w stanie o najniższej energii. Zjawisko to nazywane energią drgań próżni jest czysto kwantowe, zauważmy, że w przypadku klasycznym, stan pola o najniższej energii, jest po prostu kompletnym brakiem pola. Efekt ten jest jednym z najlepszych przykładów tego jak nieintuicyjne są efekty kwantowe, które często przeczą faktom, których nauczyliśmy się potocznie rozumując. Nawet próżnia w ujęciu kwantowym nie jest tym co rozumiemy za pojęciem próżni potocznie.

Wynik uzyskany dla kwadratu operatora pola, w stanie \(n\) fotonowym wskazuje na jeszcze jeden istotny element. Klasycznie rozumując, wiemy, że kwadrat amplitudy pola, określa jego natężenie, bowiem to on mówi jaką energię niesie ze sobą fala. Zgodnie z takim rozumieniem intensywności, możemy zaobserwować, że natężenie jest proporcjonalne, do liczby fotonów w stanie pola. Otrzymujemy bardzo prostą, ale też pouczającą interpretację: im więcej fotonów znajduje się w stanie pola, tym większe natężenie światła. Związek taki jest głęboko intuicyjny i pozwala nam na postrzeganie fotonów w trochę bardziej znajomy nam sposób.

Powyżej, przedstawiliśmy obliczenia dla pola elektrycznego. Zachęcamy czytelnika, żeby powtórzył w ramach ćwiczenia wszystkie kroki, do obliczenia wartości średniej i nieoznaczoności ola magnetycznego.

Na końcu tej lekcji, wprowadzimy jeszcze jedno istotne pojęcie związane z opisem pola. Zauważmy, że przeskalowanie operatorów kreacji i anihilacji o dodatkową fazę nie zmienia relacji komutacji pomiędzy tymi operatorami. Ściślej mówiąc: możemy zdefiniować operator \(a(t) = ae^{-i\omega t}\), który ma tę samą bazę własną co operator $a$ oraz spełnia kanoniczne relacje komutacji: \([a(t),a^{\dagger}(t)] = I\) oraz \([a(t),a(t)] = [a^{\dagger}(t),a^{\dagger}(t)]\). Transformacja ta przeprowadza nas tak naprawdę po prostu do obrazu Heisenberga operatorów kreacji i anihilacji. Możemy zgodnie z tym, zdefiniować dwa operatory:
\begin{equation}
Q = \frac{a(t) + a^{\dagger}(t)}{2}
\tag{27}
\end{equation}
\begin{equation}
P = \frac{a(t) – a^{\dagger}(t)}{2i}
\tag{28}
\end{equation}
które nazwiemy położeniem i pędem, ponieważ spełniają relacje komutacji
\begin{equation}
[Q,P] = \frac{i}{2}.
\tag{29}
\end{equation}
Zgodnie z taką definicją, pole elektryczne odpowiada położeniu kanonicznemu, natomiast pole magnetyczne – pędowi kanonicznemu.

Dogłębne zrozumienie kwantowego opisu pola elektromagnetycznego wymaga znacznie bardziej obszernego wprowadzenia, oraz wymagających obliczeń co wykracza daleko poza zakres tego kursu. Dobrą wiadomością jest jednak to, że przedstawione podstawy wystarczą do zrozumienia obliczeń zawartych w tym kursie oraz do dobrego zrozumienia działania optycznych urządzeń kwantowych, a także obliczeń kwantowych opartych o urządzenia optyczne. Zaawansowane koncepcje elektrodynamiki kwantowej nie są jednak wymagane, aby nabrać podstawowej intuicji związanej z kwantowym opisem pola elektromagnetycznego. W dalszej części kursu zgłębimy zjawiska związane z innymi, ważnymi stanami pola kwantowego, które często są wykorzystywane w różnych dziedzinach zarówno fizyki jak i informatyki kwantowej.