2. Stany ściśnięte

Wiemy już jak opisywać stany koherentne, czyli stany minimalizujące zasadę nieoznaczoności operatorów pól: elektrycznego i magnetycznego, o zbilansowanej nieoznaczoności operatorów położenia i pędu w przestrzeni fazowej. Możemy jednak zastanawiać się, co by było gdybyśmy chcieli przygotować stan, dla którego nieoznaczoność np. położenia jest mniejsza od granicy wyznaczonej przez przez stan koherentny czyli \(1/2\). Taka sytuacja opisuje grupę stanów, dla których możliwie blisko chcemy zbliżyć się do jednoznacznego określenia położenia, lub pędu. Oczywiście, zasada nieoznaczoności, musi być spełniona, zatem jeżeli ściśniemy w ten sposób pęd (określimy go z niepewnością mniejszą niż \(1/2\)), to niepewność związana z położeniem musi wzrosnąć. Tak samo, jeżeli ściśniemy położenie, nieoznaczoność pędu musi wzrosnąć. Stany takie, dla których albo \(\sigma_{Q} < 1/2\), albo \(\sigma_{P}< 1/2\) nazywamy stanami ściśniętymi.

Stany ściśnięte tworzą szeroką klasę stanów, jednak najbardziej rozpowszechnione są stany, które minimalizują zasadę nieoznaczoności. Przedstawimy tutaj, tylko szczególna postać stanów ściśniętych, czyli przesuniętych stanów ściśniętych próżni. W ogólności stany takie otrzymuje się przez zadziałanie na próżnie dwoma operatorami:
\begin{equation}
D(\alpha)S(\xi)|{0}\rangle
\tag{22}
\end{equation}
gdzie operator \(D(\alpha)\) jest tzw. operatorem przesunięcia, natomiast operator \(S(\xi)\) jest operatorem ściskania.

Operator przesunięcia definiuje się jako:
\begin{equation}
D(\alpha) = \exp(\alpha a^{\dagger} – \alpha^{*}a)
\tag{23}
\end{equation}
Można pokazać, jak operator ten działa na stan próżni, jednak wykracza to poza zakres tego kursu, dlatego przedstawimy sam wynik:
\begin{equation}
D(\alpha) |{0}\rangle = |{\alpha}\rangle
\tag{24}
\end{equation}
Zachęcamy czytelnika, żeby spróbował samodzielnie udowodnić to stwierdzenie (przydatne w tym kontekście może okazać się tzw. twierdzenie Bakera-Hausdorffa-Campbella).

Operator ciskania definiujemy przez to w jaki sposób transformuje operatory kreacji i anihilacji, a mianowicie:
\begin{equation}
S(\xi)^{\dagger} a S(\xi) = \cosh{r} a – e^{i\theta} \sinh{r}a^{\dagger}
\tag{25}
\end{equation}
\begin{equation}
S(\xi)^{\dagger} a^{\dagger} S(\xi) = \cosh{r} a^{\dagger} – e^{-i\theta} \sinh{r}a
\tag{26}
\end{equation}
gdzie parametry \(r, \theta\) są po prostu parametrami określającymi liczbę zespoloną \(\xi = re^{i\theta}\).
Obliczmy nieoznaczoność związaną z operatorami położenia i pędu \(Q,P\). W tym celu obliczmy następujące wartości oczekiwane:
\[
\langle \xi | a | \xi \rangle = \cosh r \, \langle 0 | a | 0 \rangle – e^{i\theta} \sinh r \, \langle 0 | a^{\dagger} | 0 \rangle = 0 \tag{27}
\]
Z oczywistych względów także \( \langle \xi | a^{\dagger} | \xi \rangle = 0 \). Wartość średnia położenia i pędu wynosi zatem \(0\). Obliczmy wartość oczekiwaną następujących operatorów:

\[
\langle \xi | a^{2} | \xi \rangle = -\cosh r \, \sinh r \, e^{i\theta} \tag{29}
\]

\[
\langle \xi | (a^{\dagger})^{2} | \xi \rangle = -\cosh r \, \sinh r \, e^{-i\theta} \tag{30}
\]

\[
\langle \xi | a a^{\dagger} | \xi \rangle = \cosh^{2} r \tag{31}
\]

\[
\langle \xi | a^{\dagger} a | \xi \rangle = \sinh^{2} r \tag{32}
\]

Stąd natychmiast możemy wyznaczyć kwadraty nieoznaczoności jako:

\[
\sigma_Q^{2} = \frac{1}{4} \left( \sinh^{2} r + \cosh^{2} r – 2 \cosh r \, \sinh r \, \cos \theta \right) \tag{33}
\]

\[
\sigma_P^{2} = \frac{1}{4} \left( \sinh^{2} r + \cosh^{2} r + 2 \cosh r \, \sinh r \, \cos \theta \right) \tag{34}
\]

Jeżeli \(theta = 0\), to otrzymujemy bardzo ciekawą parametryzację nieoznaczoności:

\[
\sigma_Q^{2} \big|_{\theta = 0} = \frac{1}{4} e^{-2r} \tag{35}
\]

\[
\sigma_P^{2} \big|_{\theta = 0} = \frac{1}{4} e^{2r} \tag{36}
\]

Widzimy, że \(\sigma_{Q}\sigma_{P} = \frac{1}{4}\), w rzeczywistości widzimy, że stany ściśnięte \(|{\xi}\rangle\) minimalizujące zasadę nieoznaczoności. Otrzymujemy przy tym interpretację amplitudy \(r\) jako parametru, który steruje ściskaniem nieoznaczoności w kierunku położenia. Parametr \(\theta\) odpowiada za obrót stanu w przestrzeni fazowej. na się o tym przekonać, licząc nieoznaczoności operatorów \(Q,P\), przetransformowanych macierzą obrotu o kąt \(\theta\). Szczegółowe rachunki zostawiamy jako ćwiczenie.

Na koniec zauważmy jeszcze ciekawą zależność: transformacja (25) operatorami ściskania prowadzi do uzyskania kombinacji liniowej operatorów kreacji i anihilacji: \(ua + va^{\dagger}\), której współczynniki spełniają zależność hiperboliczną \(|u|^{2} – |v|^{2} = 1\). Jeżeli zachowanie takie (tzn. niezmienniczość pewnej hiperboli ze względu na transformację) kojarzy Ci się ze Szczególną Teorią Względności, to jesteś na bardzo dobrym tropie. Transformacja taka w ogólności jest nazywana transformacją Bogoliubova i stanowi przykład dużo szerszej i ogólniejszej klasy transformacji. Odgrywa ona bardzo ważna rolę w relatywistycznej mechanice kwantowej i używana jest np. przy wyjaśnianiu efektu Unrugha, który polega na tym, że przyspieszający detektor rejestruje w próżni cząstki. Efekt ten jest właśnie związany ze ściskaniem stanu próżni przy przechodzeniu do przyspieszającego układu odniesienia.