3. Model Jaynes’a-Cummings’a

Mając już ogólny kwantowy oraz półklasyczny ogląd na oddziaływanie pola elektromagnetycznego z materią, jesteśmy przygotowani do rozważenia w pełni kwantowego modelu oddziaływania pola z materią, czyli modelu Jaynes’a-Cummings’a.

Jak już wspomnieliśmy w poprzednich lekcjach tego kursu, przejcia pomiędzy poziomami energetycznymi mogą zachodzić dla wybranych stanów, dla których szerokość przerwy energetycznej jest odpowiednio dostrojona do częstości pola oraz między stanami o przeciwnej parzystości. Możemy te dwa stany zamodelowac przez przestrzeń dwuwymiarową rozpiętą na bazie złożonej ze stanu podstawowego (\(|{g}\rangle\)) oraz stanu wzbudzonego \(|{e}\rangle\). Energię można wyskalować tak, aby poziom podstawowy, odpowiadał energii \(-\frac{\hbar\omega_{0}}{2}\), natomiast stan wzbudzony odpowiadał energii \(\frac{\hbar\omega_{0}}{2}\). Hamiltonian dla atomu przyjmuje postać:
\[
H_{\text{atom}} = \frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z = \frac{\hbar \omega_0}{2} \left( |e\rangle \langle e| – |g\rangle \langle g| \right)
\tag{13}
\]
Dodatkowo, ze względu na parzystość stanów, elementy macierzowe operatora momentu dipolowego dla diagonali w bazie \(e,g\), są zerowe. Operator momentu dipolowego można modelować wtedy przez:
\begin{equation}
d \propto (\sigma^{+} + \sigma^{-}),
\tag{14}
\end{equation}
gdzie \(\sigma^{+} = |{e}\rangle\langle{g}|\) oraz \(\sigma^{-} = |{g}\rangle\langle{e}|\). Zwyczajowo, przyjmuje się dodatkowo tzw. przybliżenie wirującej fali, tzn. zakładamy, że częstość fali jest tak duża, że człon oscylujący \(e^{\pm i (\omega + \omega_{0})t}\) przy operatorach \(\sigma_{+}a^{\dagger}\) oraz \(\sigma_{-}a\) traci istotność. W efekcie cały Hamiltonian Jaynes’a-Cummings’a przyjmuje postać:
\begin{equation}
H = \hbar\omega a^{\dagger}a + \frac{\hbar \omega_{0}}{2}\sigma_{z} + \hbar \mathcal{G}(\sigma^{+}a + \sigma^{-}a^{\dagger})
\tag{15}
\end{equation}
gdzie \(\mathcal{G}\) jest stałą sprzężenia atomu z polem.

Hamiltonian Jaynes’a-Cummings’a posiada istotną symetrię w postaci operatora liczby wzbudzeń:
\begin{equation}
N = a^{\dagger}a + \sigma^{+}\sigma^{-} = a^{\dagger}a + |{e}\rangle\langle{e}|
\tag{16}
\end{equation}
który zlicza ile fotonów jest w stanie pola oraz uwzględnia wzbudzenie atomu. Możemy przekonać się, że w rzeczywistości tak jest:
\begin{equation}
[H,N] = 0
\tag{17}
\end{equation}
Ponieważ wiemy, że dopuszczalnymi procesami są tylko: emisja fotonu przy stanie wzbudzonym oraz absorpcja przy stanie podstawowym, to możemy nasz Hamiltionian poklatkować na podprzestrzenie rozpięte na bazie \(|{e,n}\rangle\) oraz \(|{g,n+1}\rangle\). Obliczając kolejne elementy macierzowe, możemy otrzymać Hamiltonian w tej bazie jako kombinację liniową macierzy Pauliego:
\begin{equation}
H_{n} = \hbar\omega(n+\frac{1}{2}) + \frac{\hbar}{2}(\omega_{0}-\omega)\sigma_{z} + \hbar \mathcal{G}\sqrt{n+1}\sigma_{x}
\tag{18}
\end{equation}
Hamiltonian taki jest po prostu klasycznym Hamiltonianem qubitu, który możemy zapisać w postaci \(\vec{n}\cdot \vec{\sigma} + \delta\), przez co nie musimy wysilać się w obliczeniach. Wiemy od razu, że energie własne wynoszą \(\delta \pm |\vec{n}| \), co w naszym wypadku:
\begin{equation}
E_{\pm} = \hbar\omega(n + \frac{1}{2}) \pm \hbar\Big(\frac{1}{4}(\omega_{0} – \omega)^{2} + \mathcal{G}^{2}(n+1) \Big)^{1/2}
\tag{19}
\end{equation}
Spektrum tego Hamiltonianu jest o tyle ciekawe, że zwiększanie sprzężenia atomu z polem, powoduje dodatkowe rozszczepienie poziomów energetycznych. Stany odpowiadające przypadkowi z \(\mathcal{G} = 0\) nazywane są czasami stanami nagimi, natomiast stany dla \(\mathcal{G}\neq 0\) nazywane są stanami ubranymi.
Odpowiadające stany własne można obliczyć przez parametryzację wektora kierunkowego \(\hat{n}\) kątami sferycznymi dla sfery Blocha oraz odpowiednie podstawienie. Gorąco zachęcamy do przeprowadzenia rachunków w ramach ćwiczenia. Tutaj ograniczymy się wyłącznie do przypadku, w którym pole jest w rezonansie.

Jeżeli \(\omega = \omega_{0}\), to Hamiltonian jest postaci \(\sigma_{x}\). Stany własne dla dwóch poziomów energetycznych są to po prostu stany:
\begin{equation}
|{\pm}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|{e,n+1}\rangle \pm |{g,n}\rangle)
\tag{20}
\end{equation}
A więc w warunkach rezonansu, stany własne są po prostu idealną superpozycją stanów wzbudzenia atomu (procesu absorpcji) oraz wzbudzenia pola (procesu emisji).