3. Stany termalne

Gdy pole jest wzbudzone w wyniku fluktuacji termicznych jak np. w żarówce, która emituje światło pod wpływem rozgrzania gazu znajdującego się w niej, mówimy, że pole jest w stanie termalnym. Stan termalny jest zatem stanem mieszanym, w którym obsadzenia poziomów są dane rozkładem Boltzmanna:
\begin{equation}
\rho_{th} = \frac{1}{\text{Tr}[\exp(-H/kT)]}\exp(-H/kT)
\tag{37}
\end{equation}
gdzie \(k\) jest stałą Boltzmanna, \(T\) temperaturą, natomiast \(H\) jest Hamiltonianem pola \(\hbar\omega(n+1/2)\). Wprowadzamy także tzw. sumę statystyczną \(\mathcal{Z} = \text{Tr}[\exp(-H/kT)]\), która posiada zwięzłą postać:
\begin{equation}
\mathcal{Z} = e^{-\frac{\hbar \omega}{2kT}}\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-\frac{\hbar \omega n}{kT}} = e^{-\frac{\hbar \omega}{2kT}}\frac{1}{1- e^{-\frac{\hbar \omega}{kT} }}
\tag{38}
\end{equation}
Wartość średnią liczby fotonów uzyskujemy przez policzenie wyrażenia :
\begin{equation}
\langle n \rangle = \text{Tr}[n\rho_{th}] = e^{-\frac{\hbar \omega}{2kT}}\sum_{n=0}^{+\infty}ne^{-\frac{\hbar \omega n}{kT}} = e^{-\frac{\hbar \omega}{2kT}}(-\frac{kT}{\hbar})\frac{d}{d\omega}\Big(e^{\frac{\hbar \omega}{2kT}}\mathcal{Z}\Big)
\tag{39}
\end{equation}
Ostatecznie po paru przekształceniach, dochodzimy do wzoru na średnią liczbę fotonów w stanie termicznym:
\begin{equation}
\langle n\rangle = \bar{n} = \frac{1}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}} – 1}
\tag{40}
\end{equation}
dla prostoty wprowadzamy tu oznaczenie \(\langle n \rangle = \bar{n}\).
Stąd możemy od razu wyrazić operator gęstości pola w stanie termicznym w zwięzłej postaci:
\[
\rho_{\text{th}} = \frac{1}{1 + \bar{n}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{\bar{n}}{1 + \bar{n}} \right)^{n} |n\rangle \langle n| \tag{41}
\]
Podobnie można pokazać, że:
\begin{equation}
\langle n^{2}\rangle = 2\bar{n}^{2} + \bar{n}
\tag{42}
\end{equation}