2. Równania Mathieu

Rysunek 2. Wykres w współrzędnych \((p,a)\) pokazujący obszary stabilności równań Mathieu. Zaznaczony pierwszy obszar stabilności, typowe parametry operacyjne i trajektorie dla różnych wartości częstości sekularnej \(\beta\).

Podstawienie potencjału pułapki Paula do równania ruchu prowadzi do słynnych równań Mathieu — równań różniczkowych opisujących ruch jonu w pułapce:
\[
\frac{d^2u}{d\tau^2} + [a_u – 2p_u\cos(2\tau)]u = 0,
\]

gdzie \(u\) reprezentuje współrzędną (\(x\), \(y\) lub \(z\)), \(\tau = \Omega t/2\) jest przeskalowanym czasem, a parametry stabilności wynoszą:
\[
a_x = a_y = -\frac{1}{2}a_z = -\frac{8eV_{\text{DC}}}{mr_0^2\Omega^2}
\]
\[
p_x = p_y = -\frac{1}{2}p_z = \frac{4eV_0}{mr_0^2\Omega^2}
\]

Równania Mathieu pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki nieba po fizykę plazmy. Ich rozwiązania mają fascynującą strukturę: w zależności od wartości parametrów \((a,p)\), rozwiązania mogą być stabilne (ograniczone) lub niestabilne (rosnące wykładniczo).

Parametr \(a\) charakteryzuje wpływ pola statycznego, podczas gdy \(p\) opisuje siłę pola oscylującego. Dla typowych pułapek Paula, \(a\) jest małe (często zero w kierunkach poprzecznych), a stabilność jest głównie determinowana przez parametr \(p\).